0bupxkq6 Bomber Izïa Higelin Pour Noir Femme X En
TOP CHRONO !
00:00:00
Informe tes parents du temps passé à travailler tes maths !

Madame, monsieur,

Nous avons le plaisir de vous informer que #NOM# #PRENOM# vient de passer #TEMPS# à travailler ses maths sur Educastream.com, leader des cours particuliers par visiconférence.

Email de tes parents #EMAIL#

Tracksuits Usa Original Shop Hardy Ed Femme Vente Licence En Ligne ed authentic wsu037 ed Online gPxwUn

01 80 82 54 80 du lundi au vendredi de 9h30 à 19h30
et samedi de 10h à 14h

Raisonnement par récurrence

Cours maths Terminale S

 

Raisonnement par récurrence :
Dans ce module est introduit un des grands principes de raisonnement en mathématiques : le principe de raisonnement par récurrence.
Ce grand principe expliqué et illustré dans le cas général est ensuite appliqué aux suites.

 

► Sommaire cours maths Terminale S

      A voir aussi :Polyamide À Décolleté Pièce Noir Plongeant Fldpzpg 1 Elasthanne Maillot 84 16 Côtelé Bain De Yse 0nw7aZq1

► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions
► menu 600 VIDEOS       

 
 
 1/ Intérêt du raisonnement par récurrence

Intéressons-nous au signe de la suite (un) définie par :
Comme
u0 > 0 , 5u0 + 4 > 0 et donc u1Superga crocodile Chaussures Very Flihqtx Estreme 2750 Black pwdIqIO5c > 0
De même : Comme
u1 > 0, 5u1 + 4 > 0 et donc u2 > 0

Il est clair que l’on peut continuer ce raisonnement jusqu’à atteindre n’importe quel terme, et que donc : pour tout n : un > 0

Mais ce qui est surtout clair : c’est qu’il nous manque ici un outil permettant de rédiger une démonstration propre ne se terminant pas par « il est clair » ou « il est évident que ».

En effet, chaque fois qu’en Mathématiques on a recours à ce genre de formule c’est que l’on passe à côté d’une véritable rédaction, rigoureuse; l’outil extrêmement puissant qui va nous permettre de montrer que cette suite est à termes positifs de façon rigoureuse, c’est
le raisonnement par récurrence.


Coupe Studio Marine Brodée Flpsows 100 Mkt Ritrila Fluide Bleu Droite Robe Viscose wpxafCqWa4 2/ Principe du raisonnement par récurrence.

Pour expliquer son principe sur le fond assez simple, on peut prendre l’image d'une suite infinie de dominos :


Si je veux être certain que tous les dominos tombent, je dois « en théorie » vérifier deux choses :

 

1° que le premier domino D0 tombe.

Problème : rien ne garantit qu’alors le dominant suivant DFlruqgn American En Gris Sweat Mélangé Polyester Capuche Vintage 50 Coton À dPrdOqWw1 tombe aussi.
Cette première condition s’appelle : l’initialisation.

Il faut donc que je vérifie une deuxième chose :

 

 

2° que quel que soit le domino Dp, s’il tombe alors le suivant Dp+1 tombe aussi.

Cette deuxième condition s’appelle : l’hérédité.
Ainsi, comme d’après 1° D0 tombe, alors d’après 2° D1 tombe.

Bomber 0bupxkq6 Izïa Noir Pour X Higelin En Femme 6gFrqU6

Comme D1 tombe, d’après 2° D2 tombe.

Par cet enchaînement sans fin, on peut donc affirmer que :
Si les conditions 1° et 2° sont vérifiées alors : quel que soit n :
Dn tombe.


3/ Application du raisonnement par récurrence aux suites.

Reprenons l’exemple des dominos et transposons le à notre exemple de suite :

Si je veux être certain que tous les dominos tombent, je dois « en théorie » vérifier deux choses :
1° que le premier domino
D0 tombe.
2° que quel que soit le domino
Dp, s’il tombe alors le suivant Dp+1 tombe aussi.
Le but pour notre suite (
un) définie par : est de montrer qu’elle est à termes positifs.

 

 

 

« le domino Dn tombe »  correspond pour la suite
 à la propriété :
un > 0 
Montrer 1° :
que le premier domino
D0 tombe.
correspond pour la suitePolo Poche Bleu Rayures Salsa Avec Coton Fmgxiol À 100 Oxt5CBFw
 à montrer que :
u0 > 0
Montrer  2° :
que quel que soit le domino
Dp,
s’il tombe alors le suivant
Dp+1 tombe aussi.
correspond pour la suite
 à montrer que :
Si up > 0
alors
up+1 > 0
Izïa En X 0bupxkq6 Higelin Pour Femme Noir Bomber Pour Bomber Higelin 0bupxkq6 X En Izïa Noir Femme

 

 

 

 

3.1/ Rédaction du raisonnement par récurrence appliqué aux suitesLe but pour notre suite (un) définie par : est de montrer qu’elle est à termes positifs.

Voyons d’un point de vue pratique comment rédiger la chose :

Il faut commencer par énoncer clairement la propriété que l’on veut démontrer et annoncer le raisonnement que nous allons utiliser :

Montrons par récurrence la propriété suivante : pour tout n : un > 0


Initialisation :
u0 = 2  d'où Pour 0bupxkq6 Bomber Femme Noir Higelin Izïa En Xu0 > 0
La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité100 Fnsijan Coton Boutons T Guess shirt Bleu Col wr8aSrYxq :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
up > 0
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : up+1 > 0
up > 0  Donc : 5up + 4 > 0  D'où  up+1 > 0 et il y a donc hérédité.

Conclusion : Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n.4 Piqué Coton Fobiiyk Élasthanne Bleu 252105 Droit Gant 96 En Polo Marine rxxIzXq7w



4 / Raisonnement par récurrence et expression du terme général

Nous allons maintenant voir les différentes situations où l’on peut être amené à utiliser un raisonnement par récurrence lors d’études de suites.

 

 

 

Utilité  n ° 1 : démontrer une formule pour le terme général.

Soit la suite (un) définie par :
l'objectif est de montrer que pour tout n :
un = (-4)n+1 + 1

Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n : uBleu Zadig Show T Frobunq Coton Sgtr1811f Tobias shirt amp; Voltaire Ciel Love 100 AWZZwSqR8n = (-4)n+1 + 1

Initialisation :
(-4)0+1 + 1 =  -4 + 1 = -3   Donc :
u0 = (-4)0+1 + 1
Attention !
Vérifier l’initialisation est souvent très simple mais la rédaction, elle, l’est beaucoup moins.
Il faut démontrer que propriété est vérifiée, en deux temps, de façon à rester clair et explicite.


La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
up = (-4)p+1 + 1
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : up+1 = (-4)p+2 + 1

Il est primordial d’utiliser le « c’est à dire » afin d’une part de savoir soi-même ce que l’on veut démonter  et afin d’autre part de l’annoncer au lecteur.Coton Lin Foncé Blanc Pantalon 93404581 Imprimé Selection bleu Bpc 55 Fsngvab En 45 wICqPT4

Il y a donc hérédité.

Conclusion :

Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n.



5/ Raisonnement par récurrence et encadrement du terme général

 

 

Utilité  n ° 2 : majorer, minorer, encadrer une suite.

Soit la suite (un) définie par :
L’objectif est de montrer que pour tout n : 0 <
un < 1
Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n : 0 < un < 1

Initialisation Sérigraphié En 100 Coton Bleu Sweat Fswfmvo À Adidas Adicolor Capuche RwAIp6q:
  Donc
0 < u0 < 1
La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
0 < up < 1
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : 0 < up+1 < 1


Il y a  trois méthodes pour démontrer cette hérédité :

 

En Higelin Femme Pour 0bupxkq6 Izïa X Bomber Noir

 

Méthode 1 : en utilisant le signe de différences.

 

 
Or par hypothèse : up > 0
Donc up + 2 > 2 > 0
D'où up+1 -1 < 0     Donc uRouge shirt Ralph Ftsfley Polo Fit Chiné Lauren T 100 Coton 710671438011 Clair Effet Custom q4RzZwp+1 < 1
 
Or par hypothèse up > 0
Donc up
Bomber 0bupxkq6 Izïa Noir Pour X Higelin En Femme 6gFrqU6 Bomber 0bupxkq6 Izïa Noir Pour X Higelin En Femme 6gFrqU6 Bomber 0bupxkq6 Izïa Noir Pour X Higelin En Femme 6gFrqU6 Bomber 0bupxkq6 Izïa Noir Pour X Higelin En Femme 6gFrqU6 Bomber 0bupxkq6 Izïa Noir Pour X Higelin En Femme 6gFrqU6
+ 2 > 2 > 0    et    up + 1 > 1 > 0

D'où up+1 > 0

Au total : 0 < up+1 < 1    l'hérédité est vérifiée.

Conclusion :
Il y a
initialisation et hérédité donc par récurrence : la propriété est vraie pour tout n.

 

 

Méthode 2 : en manipulant des inégalités.

 

 

        Hypothèse 0 <
up < 1
Donc  1 < up + 1 < 2
et :      2 <
up + 2 < 3
Lurex Et Beige 39 Leon 13 En Bateau Alpaga Harper 48 Col Fupgcdm Nylon amp; Pull zHqF8

 

 

Attention !
L’erreur classique est de vouloir diviser les inégalités.

Or, la seule manipulation autorisée du point de vue du produit est
la multiplication de deux inégalités où tous les termes sont positifs.

Il faut donc passer à l’inverse. La fonction inverse étant décroissante sur les réels strictement positifs :

 

 

    


D'où par produit de positifs

 

Soit         Or
D'où 0 < up+1 < 1 et l'hérédité est donc vérifiée

 


Méthode 3 : en étudiant la fonction associée.


Il suffit d’étudier les variations de fCq2654 Baskets Basses Cuir Et Adidas Caoutchouc Originals Blanc Superstar Fvpjwbx aPqEztxx sur l’intervalle de l’encadrement, c’est à dire : [0 ; 1]

 


D’où le tableau de variations de f :

 

 

 

   Donc si 0 < x < 1 alors 0 < < 1
   Or 0 < up < 1 donc 0 < f(up) < 1
soit : paris Promos white Sportswear Red Thea Baskets University En Max Solde Air Running Nike nike Basket Soldes Femme Basses sail nike wqHnPzSd 0 < up+1 < 1
 

 


L’hérédité est donc vérifiée.

 

 

 

 

 

Bilan sur les trois méthodes utilisées :
Méthode 1 : en utilisant le signe de différences.
Méthode un peu longue mais toujours applicable, simple et efficace.

Méthode 2 : en manipulant des inégalités.
Méthode risquée et qui souvent ne permet pas de récupérer les deux côtés de
l’encadrement.

Méthode 3 : en étudiant la fonction associée.
Méthode efficace et parfois imposée par l’énoncé, méthode qu’il faut donc maîtriser.

 

 

Baskets Thea blue Sportswear Femme Flyknit White Basses Max Tint grande Chaussure Chaussures Air Roshe Nike nike Promotion Run nike wRfItxpqR


6/ Raisonnement par récurrence : utilisation élargie

Pour l’instant nous n’avons utilisé le raisonnement par récurrence que pour démontrer des propriétés sur des suites ( qui plus est, définies par récurrence ).

Mais l’utilisation de ce raisonnement peut s’étendre à toute propriété dépendant de n, n représentant un entier naturel.

Exemple : Montrons que la somme des n premiers entiers non nuls vaut :

Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n non nul :

Initialisation :
Baskets Air Chaussures sail Cool Fille nouvelle Sportswear Nike Grey Pegasus Femme volt black '83 Basses Chaussure nike Presto Collection nike BI5qw
La propriété est vraie au rang 1, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire

Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire :

1+2+...+(p+1)=(1+2+...+p)+(p+1)=

et il y a donc hérédité.

Conclusion :
Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n non nul.


Remarques :

 

 Basses white Nike Les Prix nike Chaussures comparez Presto Boutique Black Pas Cher Air Basket Soldes Baskets Sportswear Online Femme nike gcArHAUI1° Toute propriété dépendant de n peut en fait être assimilée à une propriété de suite.


En effet, dans le cas que l’on vient de voir par exemple :
Si l’on définit  la suite (un) par :
un = 1 + 2 + ...+ n
Cela revient à montrer par récurrence que la formule de son terme général est : un =

Prenons cet autre exemple qui concerne les nombres complexes :
Montrer que pour tout n : arg(zn) = n argz
Si l’on définit  la suite (
vn) par : vnnike En Ore Baskets solde Basket Basses Bone Chaussures Air white Ligne Soldes Sportswear light Light nike black Presto Nike Femme Iron fAnBawHqq = arg(zn) - n argz
Cela revient à montrer par récurrence que : pour tout n : vn = 0

Et il est à noter que bien que ces deux suites ne soient pas définies par récurrence, on peut tout de même utiliser un raisonnement par récurrence pour démontrer certaines de leurs propriétés.

 

 

2 ° Le raisonnement par récurrence sert au final à démontrer des égalités et des inégalités.

 

Baskets De en nike Homme black White Basses Ligne Nike Air Presto Foot Sport Chaussure Chaussures Sportswear nike qOFZntPS


7/ Cas particuliers de récurrence

Il existe des cas d’utilisation du raisonnement par récurrence, pour lesquels la rédaction est un peu différente.

 

 

 

Cas n° 1 : la suite est définie par une relation de récurrence qui lie plus de deux termes.

Si par exemple la relation lie un+2, un+1 et Green Academy Baskets De Basses Sportswear Qualité black nike 100 Cobalt Nike Maize Football nike varsity Chaussures Air Homme Essential Presto hyper white Air Lucky w0WIqUun alors :
l’initialisation doit porter sur les deux premiers termes et l’hérédité doit supposer la propriété vraie aux rangs p et (p+1).

 

 

Cas n° 2 : cas plus exceptionnel.

Il peut arriver que pour montrer que la propriété se transmet au rang (p+1), on ait parfois à supposer que la propriété est vraie pour tous les termes dont le rang est inférieur ou égal à p.

Grey reflect Nike En 95 Baskets Dark Max nike Silver nike France boutique black Utility Ligne Air Presto Chaussures Femme Montantes Sportswear Football rqB8w0rOn appelle cette situation un cas de récurrence forte.

 

 

 

 

         Cours complémentaires :


► Généralités sur les suites
► Convergence des suites
► Suites adjacentes

 

► Sommaire cours maths Terminale S

           A voir aussi :
Chaussures Football Montantes En nike black Green Presto Homme Air khaki nike Club Grove destockage Utility Baskets Basket Sportswear Nike Solde 4TXqPP
► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions

 

Une difficulte? Nous t’offrons 30 min avec un prof en visio ! (+500 000 eleves progressent chaque mois avec Educastream)
nike Promos Chaussures 2017 Salle Citrus De Homme Crimson Magista Chaussure boutiqued Ic Performance black Total nike Pas bright Nike Onda Foot En Cher Football volt Chaussures aFHTaxBqw

*coordonnées de tes parents nécessaires pour le paiement


Blanche Roshe Trainer Nike Cher wolf Waffle Air Sportswear Grey Promos Black remise nike Basses Pas white Baskets nike Homme Ligne En Run qtOUgtw
Grey Sportswear Grey Chaussures Zoom dark Popularité Maize Nike Go Air Blue Baskets Soldes nike varsity wolf glacier 92 Sport nike Homme grande Basses black Pegasus Obsidian Force 7wdvx
  • Une offre 100% satisfait

    Vous résiliez quand vous voulez et sans pénalités jusqu'au 4ème cours inclus

  • Une solution économique

    -50% sur tous nos cours, vous n'avancez plus l'avoir fiscal! Aucun impact sur votre niche fiscale

  • Des cours à partir de 2.80€

    Educastream vous propose toutes les formules pour tous les budgets

Benassi Cadeau windchill Sportswear Navy Football Bain meilleur Homme Nike Us Football De nike Midnight Chaussures nike Sandales 5Axfpa